Preskočiť na obsah
Späť na kurz

Mechanické kmitanie

Súvislosť s pohybom po kružnici a fáza

Sínusový priebeh výchylky nie je náhodný. Vyplýva z geometrickej súvislosti medzi harmonickým kmitaním a rovnomerným pohybom po kružnici.

Uvažujme bod, ktorý obieha rovnomerne po kružnici s polomerom ymy_m uhlovou rýchlosťou ω\omega. Ak jeho polohu premietneme na zvislý priemer kružnice, priemet vykonáva presne taký pohyb ako závažie na pružine.

Harmonický pohyb je teda priemetom rovnomerného pohybu po kružnici na priemer kružnice.

Vľavo bod obieha rovnomerne po kružnici s polomerom y s indexom m uhlovou rýchlosťou omega. Uhol medzi vodorovnou osou a polomerom je fáza fí. Čiarkovaná čiara premieta polohu bodu na zvislú os a určuje okamžitú výchylku y. Vpravo je graf výchylky v závislosti od času a čiarkovaná čiara ukazuje, že priemet obiehajúceho bodu zodpovedá bodu na sínusoide.

Dôvod, prečo si pomáhame kružnicou, je matematický. Rovnomerný pohyb po kružnici má jedinú veličinu, ktorá rastie lineárne s časom, a tou je uhol ωt\omega t. Kmitanie samotné je zložitejšie, pretože teleso v krajných polohách spomaľuje, zastaví, mení smer a znova zrýchľuje. Pri opise cez priemet táto zložitosť zaniká, stačí sledovať polohu bodu na kružnici a zvyšok obstarajú funkcie sínus a kosínus. Tento postup využíva fyzika pri striedavom prúde, pri vlnení aj v kvantovej mechanike, kde sa každý kmitavý dej reprezentuje otáčajúcim sa vektorom, takzvaným fázorom.

Z opisu cez kružnicu vyplýva aj vzťah pre uhlovú frekvenciu. Bod obehne celú kružnicu, teda 2π2\pi radiánov, práve za jednu periódu:

ω=2πf=2πT\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

Uhol, ktorý určuje okamžitú polohu bodu na kružnici, a tým aj okamžitú výchylku oscilátora, nazývame fáza:

φ=ωt+φ0\varphi = \omega t + \varphi_0

Veličina φ0\varphi_0 je počiatočná fáza a udáva polohu bodu v čase t=0t = 0. Ak pohyb začína v rovnovážnej polohe, platí φ0=0\varphi_0 = 0 a výchylku opisuje čistý sínus. Ak sa začína v krajnej polohe, platí φ0=π2\varphi_0 = \frac{\pi}{2} a výsledkom je kosínus.

  1. Kmitanie znázorňujeme dvoma spôsobmi:
    Časový diagram je graf závislosti výchylky od času, teda sínusoida.

  2. Fázorový diagram znázorňuje vektor dĺžky ymy_m otáčajúci sa uhlovou rýchlosťou ω\omega, ktorého priemet dáva okamžitú výchylku.