Preskočiť na obsah
Späť na kurz

Mechanické kmitanie

Harmonický kmitavý pohyb

Zo všetkých kmitavých pohybov má osobitné postavenie harmonický kmitavý pohyb. Ide o taký pohyb, pri ktorom sa výchylka mení v čase podľa funkcie sínus (prípadne kosínus).

Väčšinu reálnych kmitavých dejov možno pri malých výchylkách považovať za harmonické, preto sa im venuje najviac pozornosti.

Uvažujme závažie zavesené na pružine. Kmitá nahor a nadol okolo jedinej polohy, v ktorej sa tiažová sila a sila pružnosti navzájom vyrušia. Túto polohu nazývame rovnovážna poloha a v grafe jej zodpovedá vodorovná os, kde y=0y = 0.

Vzdialenosť telesa od rovnovážnej polohy v danom okamihu je okamžitá výchylka yy. Nadobúda kladné aj záporné hodnoty podľa toho, na ktorú stranu je teleso vychýlené. Najväčšia hodnota, ktorú výchylka dosiahne, sa nazýva amplitúda ymy_m. V grafe ju vymedzujú dve vodorovné priamky s hodnotami +ym+y_m a −ym-y_m, za ktoré sa priebeh nikdy nedostane.

Závažie zavesené na pružine kmitá okolo rovnovážnej polohy, ktorá je vyznačená vodorovnou čiarkovanou čiarou. Okamžitá výchylka y je vzdialenosť závažia od tejto polohy. Vpravo je graf závislosti výchylky od času, ktorý má tvar sínusoidy. Dve vodorovné čiarkované čiary ohraničujú maximálnu výchylku, teda amplitúdu y s indexom m, a vodorovná šípka pod grafom vyznačuje jednu periódu T, teda dobu jedného úplného kmitu.

Ak okamžitú výchylku vynesieme v závislosti od času, dostaneme sínusoidu. Jeden úplný kmit trvá dobu kmitu TT a vzdialenosť od osi po vrchol je amplitúda.

Príčinou takéhoto pohybu je vratná sila. Keď je závažie nad rovnovážnou polohou, sila smeruje nadol, keď je pod ňou, smeruje nahor, a v samotnej rovnovážnej polohe je nulová. Sila teda vždy vracia teleso späť a jej veľkosť rastie s výchylkou. Práve táto úmernosť robí pohyb harmonickým.

Tri polohy závažia na pružine. Keď je závažie nad rovnovážnou polohou, vratná sila F smeruje nadol. V rovnovážnej polohe je výsledná sila nulová. Keď je závažie pod rovnovážnou polohou, vratná sila smeruje nahor. Sila je vždy orientovaná k rovnovážnej polohe a jej veľkosť rastie s výchylkou, preto je šípka pri väčšej výchylke viditeľne dlhšia.

Rovnaký typ pohybu koná aj kyvadlo. Rozdiel je len v tom, že jeho rovnovážna poloha je zvislá, pretože guľôčka na lane samovoľne visí smerom nadol. Po vychýlení ju tiažová sila ťahá späť. Aj tu vzniká sínusoida, na zvislej osi grafu však nevynášame dĺžkovú výchylku, ale uhol φ\varphi, o ktorý je kyvadlo vychýlené od zvislice:

φ(t)=φmsin⁡(ωt)\varphi(t) = \varphi_m \sin(\omega t)

Pružina, kyvadlo, ladička aj struna sa teda riadia rovnakou sínusovou rovnicou. Líši sa iba to, ktorá veličina kmitá (dĺžková výchylka, uhol, tlak, napätie) a aká je perióda. Táto zhoda je dôvodom, prečo má zmysel zaviesť jeden spoločný matematický popis.