Preskočiť na obsah
Späť na kurz

Mechanika tuhého telesa

Kinetická energia rotujúceho telesa

Pri posuvnom pohybe má teleso kinetickú energiu 12mv2\tfrac{1}{2} m v^2. Pri otáčaní je situácia zložitejšia: každý bod telesa má síce rovnakú uhlovú rýchlosť ω\omega, ale ich obvodová rýchlosť sa líši, body bližšie k osi sa pohybujú pomalšie, body ďalej rýchlejšie, podľa vzťahu v=r⋅ωv = r \cdot \omega. Celková kinetická energia je preto súčtom energií všetkých bodov:

Ek=12m1v12+12m2v22+⋯+12mnvn2E_{\mathrm{k}} = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2 + \dots + \tfrac{1}{2} m_n v_n^2

Po dosadení vi=ri⋅ωv_i = r_i \cdot \omega a vyňatí spoločného 12ω2\tfrac{1}{2} \omega^2 dostaneme:

Ek=12ω2(m1r12+m2r22+⋯+mnrn2)E_{\mathrm{k}} = \tfrac{1}{2} \omega^2 \left( m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \dots + m_n r_n^2 \right)

Zátvorka závisí len od rozloženia hmotnosti vzhľadom na os otáčania a nazývame ju moment zotrvačnosti J:

J=m1r12+m2r22+⋯+mnrn2J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \dots + m_n r_n^2

Kinetickú energiu rotujúceho telesa tak môžeme zapísať:

Ek=12Jω2E_{\mathrm{k}} = \tfrac{1}{2} J \omega^2

Stojí za to všimnúť si paralelu s posuvným pohybom: vzťah Ek=12mv2E_{\mathrm{k}} = \tfrac{1}{2} m v^2 prechádza na Ek=12Jω2E_{\mathrm{k}} = \tfrac{1}{2} J \omega^2, pričom hmotnosť mm nahrádza moment zotrvačnosti JJ a rýchlosť vv uhlová rýchlosť ω\omega. Moment zotrvačnosti je teda akási „hmotnosť pre otáčanie" , vyjadruje, ako ťažko sa teleso roztáča alebo brzdí. Na rozdiel od hmotnosti však závisí aj od tvaru telesa a polohy osi, takže pre rôzne telesá vychádzajú rôzne vzťahy: tenká tyč otáčajúca sa okolo osi na konci má J=13ml2J = \tfrac{1}{3} m l^2, tá istá tyč okolo osi v strede len J=112ml2J = \tfrac{1}{12} m l^2 (menej, lebo hmotnosť je bližšie k osi) a plný valec okolo svojej osi symetrie J=12mr2J = \tfrac{1}{2} m r^2.

Práve od momentu zotrvačnosti závisí aj známy trik krasokorčuliarky pri pirouette. S rozpaženými rukami má veľký moment zotrvačnosti, pretože hmotnosť rúk je ďaleko od osi. Keď ruky pritiahne k telu, JJ sa zmenší a keďže sa musí zachovať veličina zvaná moment hybnosti, uhlová rýchlosť ω\omega sa úmerne zväčší a korčuliarka sa roztočí rýchlejšie, bez akéhokoľvek odrazu, len zmenou rozloženia hmotnosti. Ten istý princíp využívajú gymnasti pri salte, skokani do vody aj mačky, keď sa pri páde potrebujú vo vzduchu otočiť na nohy.