Hydrodynamika

Bernoulliho rovnica

Vieme teda, že v zúženej časti je rýchlosť väčšia, $v_2 > v_1$ , z čoho priamo vyplýva, že častice tam majú aj väčšiu kinetickú energiu:

E_{k2} > E_{k1}

Zároveň však musí platiť zákon zachovania mechanickej energie:

E = E_k + E_p = \mathrm{konšt.}

Ak kinetická energia narástla, niečo iné muselo klesnúť. Nejde pritom o tiažovú potenciálnu energiu $m g h$ , lebo trubica je vodorovná a nijaká výška sa nemení. Klesá iný typ potenciálnej energie, tlaková potenciálna energia kvapaliny, ktorú má vďaka svojmu tlaku, a jej úbytok sa prejaví poklesom tlaku v zúženej časti. Vyjadríme ju ako:

E_p = p \cdot V

Zákon zachovania mechanickej energie potom zapíšeme takto:

E = E_k + E_p = \tfrac{1}{2} m v^2 + p \cdot V

Hmotnosť vyjadríme cez hustotu, $m = \rho \cdot V$ , a dosadíme:

E = \tfrac{1}{2} \rho V v^2 + p \cdot V

Keď to celé vydelíme objemom, teda počítame energiu pripadajúcu na jednotkový objem, dostaneme slávnu Bernoulliho rovnicu:

\tfrac{1}{2} \rho v^2 + p = \mathrm{konšt.}

Je to jednoduchý vzťah, ktorý hovorí, že súčet kinetickej a tlakovej energie jednotkového objemu prúdiacej tekutiny sa nemení.

Z Bernoulliho rovnice priamo vyplýva hydrodynamický paradox:

tam, kde tekutina prúdi rýchlejšie, je nižší tlak, a naopak, kde prúdi pomaly, je tlak vyšší.

Znie to absurdne, no je to naozaj tak, pretože musí zostať zachovaná celková mechanická energia, a ak rastie jej kinetická zložka, tlaková musí klesať. Tento paradox vidno na mnohých miestach. Pri sprchovaní teplou vodou padajúca voda strháva so sebou vzduch a vytvára rýchlejšie prúdenie, teda nižší tlak, a vzduch vonku s vyšším atmosférickým tlakom doslova tlačí závesy dovnútra. Z rovnakého dôvodu sú na železničných nástupištiach žlté čiary: keď okolo teba presviští rýchlik rýchlosťou $160\ \mathrm{km \cdot h^{-1}}$ , vzduch medzi tebou a vlakom prúdi extrémne rýchlo, jeho tlak prudko klesne a nasáva ťa k vlaku, a preto počas prejazdu rýchlika nikdy nestoj pri okraji nástupišťa.

Bernoulliho rovnica

Obsah kurzu