Preskočiť na obsah
Späť na kurz

Kozmické rýchlosti a Keplerove zákony

Kozmické rýchlosti

Predstav si, že z vysokej veže hodíš teleso vodorovne. To, čo sa s ním stane, závisí výlučne od toho, akú veľkú počiatočnú rýchlosť mu udelíš.

Ak je počiatočná rýchlosť v0v_0 veľmi malá, ide o obyčajný vodorovný vrh. Teleso letí dopredu, no súčasne ho gravitácia ťahá nadol, takže opíše časť paraboly a čoskoro dopadne na povrch Zeme.

Kruhová (prvá kozmická) rýchlosť

Ak rýchlosť postupne zväčšuješ, teleso dopadne ďalej a ďalej. Pri istej presnej hodnote sa zakrivenie jeho dráhy zhoduje so zakrivením povrchu Zeme, takže teleso už nikdy nedopadne a začne Zem obiehať po kružnici. Túto rýchlosť voláme kruhová rýchlosť vkv_k.

Odvodíme ju z jednoduchej myšlienky: gravitačná sila musí byť práve takou silou, ktorá teleso udržiava na kruhovej dráhe, teda zohráva úlohu dostredivej sily. Pri obehu tesne nad povrchom (vo vzdialenosti RZR_Z od stredu Zeme) preto platí:

G⋅MZ⋅mRZ2=m⋅vk2RZG \cdot \frac{M_Z \cdot m}{R_Z^2} = \frac{m \cdot v_k^2}{R_Z}

Hmotnosť telesa mm sa z oboch strán vykráti, čo je dôležité: kruhová rýchlosť nezávisí od hmotnosti telesa. Po úprave dostaneme:

vk=G⋅MZRZ=g⋅RZv_k = \sqrt{\frac{G \cdot M_Z}{R_Z}} = \sqrt{g \cdot R_Z}

Po dosadení hodnôt pre Zem vyjde prvá kozmická rýchlosť:

vk≈7,9 km⋅s−1v_k \approx 7{,}9\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}

Práve takouto rýchlosťou sa pohybujú umelé družice Zeme na nízkych obežných dráhach. Ak teleso obieha vo výške hh nad povrchom, stačí vo vzorci nahradiť RZR_Z vzdialenosťou RZ+hR_Z + h:

vk=G⋅MZRZ+hv_k = \sqrt{\frac{G \cdot M_Z}{R_Z + h}}

Parabolická (druhá kozmická) rýchlosť

Keď rýchlosť ešte zväčšíme, kruhová dráha sa pretiahne na elipsu a pri ďalšej presnej hodnote sa trajektória „otvorí" do paraboly. Teleso vtedy už natrvalo opustí gravitačné pole Zeme a nikdy sa nevráti. Túto rýchlosť voláme parabolická alebo úniková rýchlosť vpv_p a platí pre ňu:

vp=2⋅vkv_p = \sqrt{2} \cdot v_k

Číselne ide o druhú kozmickú rýchlosť:

vp≈11,2 km⋅s−1v_p \approx 11{,}2\ \mathrm{km \cdot s^{-1}}

Práve túto rýchlosť musia dosiahnuť medziplanetárne sondy, ktoré majú opustiť okolie Zeme a vydať sa k iným telesám Slnečnej sústavy.